亚历山大·格罗滕迪克是数学巨匠
IHES
请某人说出20世纪最重要的物理学家，他们几乎肯定会说是爱因斯坦。但是请同样的问题提及数学领域，您可能会遇到茫然的目光——这就是为什么我要向您介绍亚历山大·格罗滕迪克。
爱因斯坦作为相对论的理论开创者和量子力学的重要人物，对物理学产生了巨大影响，他超越了科学的范畴，成为了一个真正的全球名人。格罗滕迪克在变革数学方面可能发挥了类似的作用，但他在去世前消失在学术圈，也消失在社会大众眼前，他的遗产只留存在他的革命性工作中。
在此之前，格罗滕迪克的工作和个性使他不像那些炫耀的爱因斯坦那样成为公众关注的对象。的确，爱因斯坦关于空间、时间和宇宙本质的想法非常复杂，尤其在数学上表达时更是如此，但他有讲故事的才能，使得他的工作容易被理解。例如，孪生子悖论中，一个以高速行驶的宇航员发现回来时他/她的孪生子比他们年纪大，这是理解相对论的一个很好的例子。
相比之下，即使是描述格罗滕迪克从事的活动也需要深入研究一堆抽象和陌生的概念。我将尽力解释其中一些内容，但实际上我只能够给您的是一个表面印象。
让我们从最高层次开始。在数学家中，格罗滕迪克最著名的是重新定义代数几何的基础。广义地说，代数几何是研究代数方程与形状之间的关系。例如，方程x² + y² = 1的值，在图上绘制后形成半径为1的圆。
真正开始正式化代数和几何之间关系的第一位人物是17世纪的哲学家笛卡尔，他的笛卡尔坐标我们今天仍在使用以在图上绘制方程。但这种关系可以更深入。数学家喜欢泛化，即将一个观念拉伸到尽可能广泛的范围，建立之前不明显的联系。格罗滕迪克擅长此类工作——事实上，关于他的生平和工作的一本书为他的个人数学特色描述为“寻求最大泛化”。
回到上面的圆方程，解出这个方程的点称为数学家所说的“代数簇”。一个代数簇不一定是笛卡尔平面上的点集。它还可以是三维空间中的点集（例如，构成一个球的点），甚至是更高维度。
对于格罗滕迪克来说，这还不够。例如，看看方程x² = 0和x = 0。两者都有一个解，将x设置为0，意味着它们的点集——即它们的代数簇——是相同的。然而，显然这两个方程是不同的，所以这里有一些信息丢失。1960年，作为他寻求最大广义性的一部分，格罗滕迪克引入了“概形”概念，用于捕捉这一额外信息。
这是怎么运作的？这里我们需要另一个概念：环。有些混淆的是，这与我们一直在谈论的圆形没有关系。数学家称之为“环”的东西是一组对象，当被加或相乘时，保持在该集合内——在某种意义上它们被封闭，或者环绕自己，就像一只戒指，尽管这个名字只是一个宽泛的比喻。
环的一个最简单的例子是整数：所有的负整数、所有的正整数和零。不管您如何把一个整数加或乘，最终都会得到一个整数。环的另一个基本属性是它有一个“乘法单位”，这意味着当乘以另一个对象时，总是会再次得到第二个对象。在整数中，这很简单——乘法单位是1，因为任何整数乘以1都不变。这也给我们一个方便的例子说明不是环的东西——只有偶数整数的集合没有1，因此没有乘法单位。
通过引入概形，格罗滕迪克结合了代数簇和环的概念（请注意：这里我略微概述了一些额外的复杂性！）来编码方程x² = 0和x = 0等方程丢失的信息。这证明非常强大，因为它允许数学家将各种子学科的问题转化为几何问题，而不会丢失任何重要的细节或结构，然后用几何工具解决这些问题。
亚历山大·格罗滕迪克永 1982年手写笔记
蒙彼利埃大学，格罗滕迪克档案
我将重点关注两个数学家使用新概念“概形”解决的重要问题。第一个是韦伊尔猜想，数学家安德烈·韦伊尔于1949年提出的四个关于计算特定类型代数簇解的数量的猜想。回到我们的圆的例子，符合方程x² + y² = 1的值有无限多个（您可以大致把它视为说圆有无限多个“边”）。但韦伊尔感兴趣的是只能有有限解的代数簇。他假设，但无法证明，一种称为ζ函数的方程可以计算这些解。
使用概形，格罗滕迪克及其同事于1965年证明了韦伊尔的三个猜想，第四个证明在1974年晚些时候由皮埃尔·德利涅完成，他是格罗滕迪克的前学生，也使用了概形。德利涅的证明被认为是20世纪数学最伟大的成就之一，解决了困惑数学家达25年的挑战。这也确立了格罗滕迪克的概形在连接数学领域的强大作用，此例中是数论和几何。
在破解臭名昭著的费马大定理方面，概形也发挥了关键作用，这是数论中的一个问题，在解答前困扰数学家350多年，直到安德鲁·怀尔斯于1995年解决。该定理表明，如果n是大于2
