为什么零是所有数学中最重要的数字

整个数学中最重要的数字是什么？好吧，这是一个非常愚蠢的问题——在无限的可能性中，你怎么可能选择？我认为像 2 或 10 这样的大击球手比从数万亿中随机抽取的东西更有资格获得冠军，但实际上这仍然是相当任意的。尽管如此，我还是要声明有一个最重要的数字：零。让我看看能否说服你。

零开始登上数学万神殿的顶峰，就像典型的英雄之旅一样，出身卑微。事实上，当它在大约 5000 年前开始出现时，它甚至根本不是一个真正的数字。当时，古巴比伦人使用由线条和楔形组成的楔形文字来记录数字。它们与计数标记类似，一种标记代表 1 到 9 的数字，另一种标记代表计数 10、20、30、40 和 50。

这些标记可以让您数到 59，那么当您数到 60 时会发生什么？好吧，巴比伦人只是重新开始，对 1 使用与 60 相同的标记。这个以 60 为基数的数字系统很方便，因为 60 可以被许多其他数字整除，使计算更容易，这也是我们今天仍然使用它来表示时间的部分原因。但无法区分 1 和 60 是一个很大的缺点。

那么，解决方案就是零——或者至少是类似的。巴比伦人使用两个呈一定角度的楔子来表示数字的缺失，从而使他们能够将其他数字放置在正确的位置，就像我们今天所做的那样。

例如，在现代数字系统中，3601表示三千、六百、零十和一。巴比伦人将其写为六十六十、零十和一，但如果没有位置零，则其符号将与六十和一完全相同。但重要的是，巴比伦人实际上并没有用零来计算位置——它更像是标点符号或提醒跳到下一个数字。

这种占位符零在其他古代文化中使用了数千年，但并非全部。值得注意的是，罗马人没有零，因为罗马数字不是位置数字系统，X 始终代表 10，无论它在哪里。零的下一次进化直到3才出现^RD 公元世纪，至少根据在现在的巴基斯坦发现的一份手稿来看。它包含数百个用作位置零的点符号，正是这个符号最终演变成我们今天所知的 0。

尽管如此，零作为一个数字本身而不仅仅是一个占位符的想法还需要再等几个世纪。它首次出现在印度数学家梵天笈多 (Brahmagupta) 于公元 628 年左右撰写的一部名为《婆罗门》的文本中。虽然他之前的许多人都意识到，如果你试图从 2 中减去 3，就会发生一些奇怪的事情，但这种计算传统上被视为无稽之谈。婆罗门笈多是第一个认真对待这个想法的人，他用负数和零来描述算术。他对如何操纵零的定义非常接近我们的现代概念，但有一个重要的例外：除以零时会发生什么？婆罗门笈多说 0/0 = 0，但对于任何其他除以零的数字则模棱两可。

这个问题的真正答案还需要一千年的时间，并且它将催生数学家武器库中最强大的工具之一——微积分。由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨于 17 世纪独立开发^th 二十世纪以来，微积分涉及对无穷小数的操纵——那些尽可能接近于零但实际上为零的数。从本质上讲，无穷小可以让你在没有真正达到它的情况下潜入除以零的想法，事实证明这是非常有用的。

为了找出原因，让我们去兜风一下。假设我们驾驶汽车的速度越来越快，并且您逐渐放低脚以增加加速度。我们可以用方程 v = t² 来描述汽车的速度，其中 t 代表时间。因此，假设 4 秒后，您的速度将从 0 开始为每秒 16 米。但是您在这段时间内行驶了多远？

因为距离等于速度乘以时间，所以我们可以尝试将 16 乘以 4 得到 64 米。但这不可能是正确的，因为您在最后才达到 16 m/s 的最高速度。也许我们可以将行程分成两半，将前半部分视为以 4 m/s 的速度行驶 2 秒，然后以 16 m/s 的速度行驶 2 秒。得出的距离为 4 x 2 + 16 x 2 = 40 米。但实际上，这是一个高估，因为我们仍然依赖于这两个半场的最高速度。

为了提高估计的准确性，我们需要缩短时间范围，这样我们只需将在特定点行驶的速度乘以我们在该点实际花费的时间 – 这就是我们遇到零的地方。如果您在图表上绘制 v = t² 并覆盖我们之前的估计，您会发现第一个估计不太匹配，而第二个估计更接近。为了获得最准确的测量，我们需要将旅程分割成零秒长的时间范围，然后将它们加在一起。但这将涉及除以零，这是不可能的——或者至少在微积分发明之前是不可能的。

牛顿和莱布尼茨提出了一些技巧，让您无需实际操作即可接近除以零，虽然微积分的完整解释超出了本文的范围（如果您感兴趣，请尝试在线课程！），但他们的方法揭示了真正的答案，即 t² 或 t³/3 的积分。这使我们的距离为 21 又 1/3 米。这通常也称为曲线下面积，当您看到如下图时，它会变得更加明显：